【考點(diǎn)梳理】

考點(diǎn)一、實(shí)數(shù)的分類

1.按定義分類：

2.按性質(zhì)符號(hào)分類：

有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)或者"形如（m，n是整數(shù)n≠0）"的數(shù)叫有理數(shù)．

無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)．

實(shí)數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)．

要點(diǎn)詮釋：

常見的無理數(shù)有以下幾種形式：

（1）字母型：如π是無理數(shù)，等都是無理數(shù)，而不是分?jǐn)?shù)；

（2）構(gòu)造型：如2.10100100010000…（每?jī)蓚€(gè)1之間依次多一個(gè)0）就是一個(gè)無限不循環(huán)的小數(shù)；

（3）根式型：…都是一些開方開不盡的數(shù)；

（4）三角函數(shù)型：sin35°、tan27°、cos29°等.

考點(diǎn)二、實(shí)數(shù)的相關(guān)概念

1.相反數(shù)

（1)代數(shù)意義：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)，我們說其中一個(gè)是另一個(gè)的相反數(shù)．0的相反數(shù)是0；

（2)幾何意義：在數(shù)軸上原點(diǎn)的兩側(cè)，與原點(diǎn)距離相等的兩個(gè)點(diǎn)表示的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)；

（3)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)之和等于0.a、b互為相反數(shù)a+b=0.

2.絕對(duì)值

（1)代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0．

可用式子表示為：

（2)幾何意義：一個(gè)數(shù)a的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離．距離是一個(gè)非負(fù)數(shù)，所以絕對(duì)值的幾何意義本身就揭示了絕對(duì)值的本質(zhì)，即絕對(duì)值是一個(gè)非負(fù)數(shù)．

用式子表示：若a是實(shí)數(shù)，則|a|≥0．

3.倒數(shù)

（1)實(shí)數(shù)的倒數(shù)是；0沒有倒數(shù)；

（2)乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)．a(chǎn)、b互為倒數(shù).

4.平方根

（1)如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根．一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0有一個(gè)平方根，它是0本身；負(fù)數(shù)沒有平方根．a(chǎn)（a≥0）的平方根記作．

（2)一個(gè)正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術(shù)平方根．a(chǎn)（a≥0）的算術(shù)平方根記作．

5.立方根

如果x3=a，那么x叫做a的立方根．

一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根；0的立方根仍是0．

要點(diǎn)詮釋：

若則則表示的幾何意義就是在數(shù)軸上表示數(shù)a與數(shù)b的點(diǎn)之間的距離.

考點(diǎn)三、實(shí)數(shù)與數(shù)軸

規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸，數(shù)軸的三要素缺一不可．

每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示，反過來，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)．

要點(diǎn)詮釋：

（1）數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度.

（2）實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的.

考點(diǎn)四、實(shí)數(shù)大小的比較

1.對(duì)于數(shù)軸上的任意兩個(gè)點(diǎn)，靠右邊的點(diǎn)所表示的數(shù)較大.

2.正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)；絕對(duì)值大的反而小.

3.對(duì)于實(shí)數(shù)a、b， 若a-b>0a>b；a-b=0a=b；a-b<0a<b.

4.對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c，若a>b，b>c，則a>c.

5.無理數(shù)的比較大小：

利用平方轉(zhuǎn)化為有理數(shù)：如果a>b>0， a2>b2a>b；

或利用倒數(shù)轉(zhuǎn)化：如比較與.

要點(diǎn)詮釋：

實(shí)數(shù)大小的比較方法：（1）直接比較法：正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小.（2）數(shù)軸法：在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.

考點(diǎn)五、實(shí)數(shù)的運(yùn)算

1.加法

同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值；互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0；一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)．

滿足運(yùn)算律：加法的交換律a+b=b+a，加法的結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)．

2.減法

減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)．

3.乘法

兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘.

幾個(gè)非零實(shí)數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正；當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)．幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0，積就為0．

乘法運(yùn)算的運(yùn)算律：（1）乘法交換律ab=ba；（2）乘法結(jié)合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法對(duì)加法的分配律a(b+c)=ab+ac．

4.除法

（1）除以一個(gè)數(shù)，等于乘上這個(gè)數(shù)的倒數(shù)．

（2）兩個(gè)數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除．0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)都得0．

5.乘方與開方

（1)求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘方，a所表示的意義是n個(gè)a相乘.

正數(shù)的任何次冪是正數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)．

（2)正數(shù)和0可以開平方，負(fù)數(shù)不能開平方；正數(shù)、負(fù)數(shù)和0都可以開立方．

（3)零指數(shù)與負(fù)指數(shù)

要點(diǎn)詮釋：

（1）加和減是一級(jí)運(yùn)算，乘和除是二級(jí)運(yùn)算，乘方和開方是三級(jí)運(yùn)算．這三級(jí)運(yùn)算的順序是三、二、一．如果有括號(hào)，先算括號(hào)內(nèi)的；如果沒有括號(hào)，同一級(jí)運(yùn)算中要從左至右依次運(yùn)算．

（2）實(shí)數(shù)的運(yùn)算律　 　加法交換律：a+b=b+a　　 加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)　　 乘法交換律：ab=ba　　 乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)　　 乘法分配律：(a+b)c=ac+bc

考點(diǎn)六、有效數(shù)字和科學(xué)記數(shù)法

1.近似數(shù)　　一個(gè)近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位．精確度的形式有兩種：（1）精確到哪一位；（2）保留幾個(gè)有效數(shù)字.

2.有效數(shù)字　　一個(gè)近似數(shù)，從左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位為止，所有的數(shù)字，都叫做這個(gè)近似數(shù)的有效數(shù)字．

3.科學(xué)記數(shù)法

把一個(gè)數(shù)用±a×10（其中1≤＜10，n為整數(shù)）的形式記數(shù)的方法叫科學(xué)記數(shù)法．

要點(diǎn)詮釋：

（1）當(dāng)要表示的數(shù)的絕對(duì)值大于1時(shí)，用科學(xué)記數(shù)法寫成a×10，其中1≤＜10，n為正整數(shù)，其值等于原數(shù)中整數(shù)部分的數(shù)位減去1；

（2）當(dāng)要表示的數(shù)的絕對(duì)值小于1時(shí)，用科學(xué)記數(shù)法寫成a×10，其中1≤＜10，n為負(fù)整數(shù)，其值等于原數(shù)中第一個(gè)非零數(shù)字前面所用零的個(gè)數(shù)的相反數(shù)（包括小數(shù)點(diǎn)前面的零）.

考點(diǎn)七、數(shù)形結(jié)合、分類討論、建模思想

1.數(shù)形結(jié)合思想　　實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，絕對(duì)值的幾何意義等，數(shù)軸在很多時(shí)候可以幫助我們更直觀地分析題目，從而找到解決問題的突破口；

2.分類討論思想

（算術(shù)）平方根，絕對(duì)值的化簡(jiǎn)都需要有分類討論的思想，考慮問題要全面，做到既不重復(fù)又不遺漏；

3. 從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型

　以現(xiàn)實(shí)生活為背景的題目，我們要抓住問題的實(shí)質(zhì)，明確該用哪一個(gè)考點(diǎn)來解決問題，然后有的放矢.

PAGE

（圖片來源網(wǎng)絡(luò)侵刪）